Ég tek áskorun Ómars Sharif um næstu gátu.
Hver er lágmarksfjöldi fólks í partýi svo að það séu meiri en helmingslíkur á að einhverjir tveir eigi afmæli sama dag?
What is the least number of people in a party so the probability that any two have the same birthday exceeds half?
Lausnin á próf-gátunni
Ekki kom fram rétt lausn á þessari þraut þó að menn hafi verið heitir.
En ef gert er ráð fyrir því að nemandi sem situr við annanhvorn enda raðarinnar fari ekki fram hjá öðrum nemendum þegar hann yfirgefur prófið þá eru líkurnar á því að enginn nemandi þurfi að fara fram hjá öðrum nemendum 2/6 * 2/5 * 2/4 * 2/3 * 2/2 * 1/1 = 2/45.
Líkurnar á því að einhver nemandi þurfi að fara framhjá einum eða fleiri nemendum er því 1 - 2/45 = 43/45.
Answer to the examination riddle is 43/45.
Gerast áskrifandi að:
Birta ummæli (Atom)
14 ummæli:
Hint: Gott að nota excel eða vasareikni í þetta...
Hæhæ. Loksins koma fleiri fréttir á heimasíðuna þína. Þessar gátur eru þó nokkuð fráhrindandi hvað mig varðar. En til hamingju með að vera kominn í skólann aftur og tilbúinn til starfa. Vonandi verður þetta mastersverkefni áhugavert.
heyri í þér fljótlega.
kv
Silla
ég verð að bæta við, það var ekki Logi sem kom með síðasta komment heldur Silla.
go´dag....ég er sammála Sillu þessar gátur eru ekki að gera sig...geturðu ekki komið með eitthvað léttara fyrir okkur stærðfræðikennara:)... Annars gaman að fá fréttir af ykkur...
held og lykke
Sigga sys
Þið getið a.m.k. giskað.
Þá lofa ég að koma með fleiri fréttir!
Kv,
Einar Örn
Ég giska á að það þurfi tvo í partíið, þeas ef það er afmælispartý! En þá er það spurningin um hvort tvær glaðar manneskjur saman sé nóg til að geti kallast partý?
Til hamingju einsi boy með að standa uppréttur þarna á hvolfi!
..og nú geta komið fleiri fréttir..
felga
Ég myndi halda að það þyrfti 366 persónur til að líkurnar væru 100%. Því þyrfti 183 persónur til að fá helmingslíkur og þá þarf 184 persónur til að fá meiri en helmingslíkur. Þetta miðast við að í ári séu 365 dagar.
Þetta yrði samt helvíti stórt party. Verðum bara að prófa þetta í næsta partyi hjá ykkur Einsi.
skondnar systur sem þú átt:)...Hey ég er sammála Ingólfi...reiknaði fram og til baka notaði meira að segja exel...Fleiri svona gátur, komin í gírinn:)
Kveðja frá Ak...Sigga
Jæja, ég er búinn að skoða þessa gátu og mitt svar er eftirfarandi:
Líkurnar á því að einhverjir tveir (og ekki fleiri en tveir) eigi afmæli sama dag í partýinu eru alltaf minni en hálfur!
Ég fæ ennfremur út að það eru mestar líkur á að þetta gerist þegar 29 manns koma saman í partý - og þá fæ ég út að líkurnar séu 1/2,5878 eða 0,3864 (38,64% líkur).
En ég fæ út að líkurnar séu P(n) = 1/365^n * n!/(2! * (n-2)!) * (365!/(365 - n +1)!).
Svo er bara að sjá hvort að þetta er rétt svar!!
Ég gleymdi að taka það fram í svari mínu að n er fjöldi fólks í partýinu og n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1.
Það var prentvilla í svarinu mínu - en ég fæ út að hámarkslíkur á því að einhverjir tveir eigi afmæli í partýinu er þegar fjöldi partýgesta er 28 en ekki 29 eins og kom fram hjá mér hér að ofan. Og þá fæ ég út að líkurnar séu, eins og fyrr, 38,64%.
Þetta er reindar mjög fræg gáta og man eftir því að það var farið í gegnum þetta í líkindafræði tímanum hjá honum Hermanni, varst þú ekki þar Einar? :-)
En þetta svar þitt Einar er ekki alveg rétt því það eru jú 100% líkur á því að einhverjir 2 eigi afmæli á sama degi ef það eru fleiri en 365 í partýinu þannig að það hlýtur að vera einhver fjöldi n sem skilgreinir hvenær líkurnar verða stærri en 50%.
Besta lausnin er að reikna líkurnar á því að allir afmælisdagar eru mismunandi og svo draga þær líkur frá 100%.
Líkurnar á því að enginn eigi afmæli á sama degi eru
365!/((365-n)*365^n)
þar sem n eru fjöldi einstaklinga í partíinu.
Setjið nokkur gildi af n inn í þessa formúlu og þið sjáið að hún tekur gildi næst 50% þegar n = 23 (49.3%) og það dregið frá 100% er 50.7%
Ef t.d. 5 manns í sama partýi þá eru líkurnar á því að enginn eigi afmæli sama dag(þ.e. að a.m.k 2 eiga afmæli sama dag er "1-enginn afmæli sama dag")...
365/365*364/365*363/365*362/365*361/365=97,3%
Þegar 23 manns í partýinu þá eru líkurnar komnar niður fyrir 50% að enginn eigi afmæli sama dag.=> 23 til að séu meira en 50% líkur að a.m.k. 2 eigi afmæli sama dag.
Er ekki annars allt gott að frétta?
Já, ég er sammála ykkur.
En hins vegar ef maður gerir þá kröfu að einungis tveir eigi afmæli sama dag (og allir hinir eigi ekki afmæli sama dag) þá held ég að þið fáið út svarið mitt (ég gerði ráð fyrir því að einungis tveir mættu hafa sama afmæisdag og ekki fleiri - þannig að ég skildi gátuna ekki rétt).
En ef gert er ráð fyrir því að einungis tveir (og ekki fleiri) eigi afmæli sama daginn þá hugsaði ég að:
Líkurnar á því að nákvæmlega tveir eigi sama afmælisdag (og allir aðrir mismunandi afmælisdag), ef gestirnir eru n talsins, eru: 365/365 * 1/365 * 364/365 * 363/365 * ... * (365-n+2)/365 og þar sem fjöldi mismunandi tveggja einstaklinga úr n einstaklingum er n!/(2! * (n-2)!), þá þarf að margfalda því við til að fá líkurnar.
Ég held því að þetta sér rétt hjá mér miðað við hvernig ég skildi gátuna. Þannig að fyrir 366 manns í partý, þá eru líkurnar á því að einungis tveir eigi sama afmælisdaginn (og allir hinir mismunandi afmælisdag) mjög litlar - og fyrir 367 manns - þá ættu líkurnar að vera 0! Það ætti því að vera hámark á þessum líkum eihvers staðar...
Eruð þið sammála mér (miðað við minn skilning)?
Skrifa ummæli