Gáta númer 8 -- riddle number 8

Ef að 7 er dregið frá vissri tölu og útkoman svo margfölduð með 7, fæst sama útkoma og ef 11 hefði verið dregið frá tölunni og útkoman svo margfölduð með 11. Finnið töluna.

If a certain number is reduced by 7 and the remainder is multiplied by 7, the result is the same as when the number is reduced by 11 and the remainder is multiplied by 11. Find the number.

---

Lausnin á partý-gátunni

Ef gert er ráð fyrir því að mismunandi afmælisdagar séu 365 og að fjöldi partý-gesta sé n, þá eru (365)n mismunandi mögulegar á afmælisdögum partý-gestanna. Möguleikarnir á því að enginn eigi sama afmælisdag eru 365 * 364 * ... * (365-n+1) og það gefur líkurnar, P(n), á því að tveir eða fleiri gestir eigi sama afmælisdag, P(n) = 1 - (365 * 364 * ... * (365-n+1))/(365)n. Minnsta n sem gefur P(n) > 1/2 er n = 23.
Svarið er því 23 partý-gesti þarf til að líkurnar á því að tveir eða fleiri eigi sama afmælisdaginn séu hærri en 1/2.

Ef hinsvegar á að finna líkurnar á því að nákvæmlega 2 og ekki fleiri en 2 gestir eigi sama afmælisdag þá fæst ekki sama niðurstaða. Eins og fyrr eru (365)n möguleikar á afmælisdögum gestanna. En nú eru n!/(2!*(n-2)!) * 365 * 1 * (364 * 363 * ... * (365-n+2)) möguleikar á því að einhverjir 2 og ekki fleiri en 2 eigi sama afmælisdag. Líkurnar í þessu tilfelli verða því P(n) = n!/(2!*(n-2)!) * (365!/(365-n+1)!) / (365)n fyrir 2<=n<=366, P(n) = 0 annars. Líkurnar í þessu tilfelli eru aldrei hærri en 1/2 en ná hæsta gildi sínu fyrir n = 28 og eru þá P(28) = 0,3864.
Í þessu tilfelli eru því líkurnar að nákvæmlega 2 eigi sama afmælisdag í parýinu (og ekki fleiri) alltaf minni en 1/2 en eru hæstar ef fjöldi partý-gesta er 28 og eru þá líkurnar 38,64%.

Answer to the party-riddle is: For 23 party guests the probability that two or more guests share the same birthday exceeds 1/2.
But the probability that exactly 2 guests, and no more than 2, share the same birthday never exceeds 1/2, but has a maximum for 28 guests and the probability is then 38.64%.